Duración de un Bono

Durante la vida de un Bono se producen flujos por el pago de cupones y las amortizaciones de capital, por esta razón es necesario una medida del vencimiento promedio de estos flujos futuros, ya que la reinversión de los flujos genera un efecto interesante cuando se piensa en la recuperación del capital invertido, entonces el vencimiento promedio termina siendo menor. En el caso de un bono cero cupón, que no tiene flujos intermedios durante su vida, la madurez efectiva del bono es igual a su vencimiento.

Frederik Macaulay, en 1938, define la Duración de un bono como su madurez efectiva. La Duración de Macaulay no es más que la media ponderada con respecto al tiempo de cada flujo (cupón y/o principal) que produce el bono. Dicha ponderación asociada al tiempo está relacionada con la importancia que cada flujo tiene con respecto al precio del bono. De hecho, el peso de cada flujo es la proporción del flujo en relación al valor total del bono, es decir, el valor actual del flujo dividido entre el precio del bono.

Un concepto que nos permitirá entender de manera más sencilla la Duración es el de “Centro de Masa”. Físicamente hablando,el centro de masa es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema de objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo a sus masas. Esto no es más que la única posición en la cual los vectores de posición ponderados de todas las partes de un sistema suman cero, es decir, se equilibran.

¿Para qué nos sirve el centro de masa?

Lo interesante acerca del centro de masa de un objeto o de un sistema, es que “es el punto en donde actúa cualquier fuerza uniforme sobre el objeto”. Esto facilita la resolución para describir movimientos de objetos con formas no regulares y sistemas complicados. Se dice que simplifica porque permite tratar a dichos objetos como si toda su masa estuviera concentrada en un objeto pequeño ubicado en el centro de masa. Si se empuja un objeto rígido en su centro de masa, entonces el objeto siempre se moverá como si fuera una masa puntual. No va a rotar alrededor de ningún eje, sin importar la forma que tenga. Si el objeto es sometido a la acción de una fuerza fuera de equilibrio en algún otro punto, entonces empezará a rotar alrededor del centro de masa.

Ahora bien, ¿Cómo relacionamos este concepto con la Duración de un Bono?.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales, el centro de masas es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. En el caso de un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

M, masa total del sistema de partículas.

$m_{i}$, masa de la partícula $i$-ésima.

$r_{i}$, vector de posición de la masa $i$-ésima respecto al sistema de referencia supuesto.

Como podemos observar, el centro de masa es el promedio de la posición de todas las partes del sistema, ponderadas de acuerdo a sus masas. De manera análoga, la Duración pondera cada flujo en relación al tiempo. En lugar de la distancia que se utiliza en el sistema de partículas, se utiliza el tiempo y en lugar de la masa de la partícula se utiliza el tamaño del flujo.

Esto se puede expresar como:

La Duración calcula el valor actual de cada uno de los flujos de efectivo y los pondera por el tiempo hasta que son recibidos.

Donde:

El Precio se refiere a la masa total del sistema de partículas (M).

$w_{t}$ se refiere a la masa de la partícula i-ésima $m_{i}$.

y, $t$ se refiere al vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia supuesto $r_{i}$.

Entonces entendiendo la relación antes expuesta tenemos que la Duración de un instrumento de renta fija es igual al promedio ponderado de los períodos en que los cupones son pagados y que los ponderadores son, justamente, el valor presente de cada flujo de caja individual. Por lo que la Duración será el centro de masa de los flujos que equilibran el pago de los flujos más cercanos y lejanos.

Sustituyendo la ecuación 2 en la ecuación 3 nos queda:

Ahora bien, cuando Macaulay definió, el concepto de Duración, lo hizo para medir el peso promedio en el tiempo, de cada flujo del bono. De hecho, usualmente la Duración es expresada en términos temporales. Una interpretación más correcta sería verla como la volatilidad en el precio de un bono cero cupón con ese número de años hasta su vencimiento. Sin embargo, expresar la Duración en términos temporales dificulta la interpretación de la misma en ciertos valores. Por ejemplo, si pensamos en la Duración expresada en términos temporales, una Duración negativa no tendría mucho sentido, sin embargo, si la evaluamos en términos de porcentaje de cambio en el precio, dicho número nos indica que ante un cambio de 100 puntos básicos en el rendimiento, el precio del bono va a cambiar alrededor de un 4%, pero el cambio será en la misma dirección que ocurrió la variación de las tasas de rendimiento.

Dada la anterior interpretación, podemos entender la Duración como el período de tiempo en el que la reinversión de los flujos futuros de fondos de un instrumento de renta fija compensa la variación, en el precio del mismo, derivada de una oscilación en los tipos de interés. En otras palabras, es una medida de la sensibilidad aproximada del valor de un bono a los cambios en la tasa.

Vamos a resolver un ejercicios en R

1) Encuentre la Duración de un bono con cupones del 6% pagaderos por anualidades vencidas si su rendimiento hasta el vencimiento es del 6% y su vida es de tres años. El bono tiene un valor nominal de $100 y se cotiza en el mercado a valor par.

#Variables precio <- 100 nominal <- 100 cupon <- 0.06 r <- 0.06 #interés t1 <- 1 t2 <- 2 t3 <- 3 # Lo primero que debemos hacer es calcular los flujos de caja. Las variables precio, nominal, cupon, r (interés), t1 (tiempo 1), t2 (tiempo 2) y t3 (tiempo 3) se encuentran guardadas en el ambiente de trabajo: CF_1 <- CF_2 <- CF_3 <- # Una vez determinados los flujos de caja ahora calculamos el valor actual de cada uno de los flujos VA_1 <- VA_2 <- VA_3 <- # Ahora multiplicamos el valor actual de los flujos de caja por cada uno de los tiempos W_T1 <- W_T2 <- W_T3 <- # Una vez obtenidos los valores, ahora realizaremos la sumatoria numerador <- # Finalmente dividiremos el valor obtenido en el numerador entre el precio duracion <- # Verifique el valor de la Duración duracion # Lo primero que debemos hacer es calcular los flujos de caja. Las variables precio, nominal, cupon, r (interés), t1 (tiempo 1), t2 (tiempo 2) y t3 (tiempo 3) se encuentran guardadas en el ambiente de trabajo: CF_1 <- (cupon *nominal) CF_2 <- (cupon *nominal) CF_3 <- (cupon *nominal) + nominal # Una vez determinados los flujos de caja ahora calculamos el valor actual de cada uno de los flujos VA_1 <- CF_1/(1+r)^1 VA_2 <- CF_2/(1+r)^2 VA_3 <- CF_3/(1+r)^3 # Ahora multiplicamos el valor actual de los flujos de caja por cada uno de los tiempos W_T1 <- VA_1 * 1 W_T2 <- VA_2 * 2 W_T3 <- VA_3 * 3 # Una vez obtenidos los valores, ahora realizaremos la sumatoria numerador <- sum(W_T1,W_T2,W_T3) # Finalmente dividiremos el valor obtenido en el numerador entre el precio duracion <- numerador/precio # Verifique el valor de la Duración duracion test_object("CF_1", incorrect_msg = "Debe calcular el flujo de caja del período 1") test_object("CF_2", incorrect_msg = "Debe calcular el flujo de caja del período 2") test_object("CF_3", incorrect_msg = "Debe calcular el flujo de caja del período 3") test_object("VA_1", incorrect_msg = "Debe calcular el VA del flujo de caja del período 1") test_object("VA_2", incorrect_msg = "Debe calcular el VA del flujo de caja del período 2") test_object("VA_3", incorrect_msg = "Debe calcular el VA del flujo de caja del período 3") test_object("W_T1", incorrect_msg = "Debe multiplicar el valor actual del flujo 1 por el tiempo 1") test_object("W_T2", incorrect_msg = "Debe multiplicar el valor actual del flujo 2 por el tiempo 2") test_object("W_T3", incorrect_msg = "Debe multiplicar el valor actual del flujo 3 por el tiempo 3") test_object("numerador", incorrect_msg = "Debe realizar la sumatoria de todos los valores W_T") test_object("duracion", incorrect_msg = "Debe dividir el valor del numerador entre el precio") success_msg("Muy bien!")
Recuerde revisar la fórmula de la Duración.

La Duración es un concepto muy importante para la Gestión de Riesgo de carteras de Bonos. De hecho es la base del método más utilizado para Inmunizar carteras de Bonos.

Seguiremos trabajando con la Duración para entender mejor la naturaleza de los instrumentos de Renta Fija.

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