Riesgo de Tasas de Interés y Reinversión

Supongamos que un inversionista posee una cantidad de dinero y decide invertirlo en el mercado de valores; en el mercado de valores tienes la opción de invertir en instrumentos de renta variable como las acciones de las empresas o ETFs y por otra parte puede invertir en instrumentos de renta fija, en este artículo nos centraremos en los instrumentos de renta fija.

Los instrumentos de renta fija cuentan con las características siguientes:

  • Tienen un tiempo de vida definido, llamado vencimiento, es el tiempo en el cual se paga el valor nominal o principal. Por ejemplo, los bonos generalmente cuentan con esta característica, existen también bonos perpétuos que no pagan el principal, pero cumplen con la segunda característica.

  • El instrumento da el derecho a recibir pagos (cupones) periódicos. Durante la vigencia del instrumento, el inversionista, recibe el pago, generalmente, de un monto fijo. También hay bonos Cero Cupón que sólo cumplen con la primera característica.

Cuando el inversionista compra un bono, está comprando un flujo de caja fijo y definido hasta la fecha de vencimiento, en el cual recibe el valor nominal.

Hay muchos tipos de bonos con características diversas e inclusive tasa cupón variable, perpétuos, cero cupón y con fechas de vencimiento de meses a varias décadas, en este artículo sólo vamos a considerar los tipo bullet, que pagan cupones periódicamente a una tasa fija durante la vigencia del bono, paga el nominal en el vencimiento y tienen vencimiento definido.

Al invertir en un bono el inversionista conoce los flujos que se van a producir por capital e intereses y en qué momento se producen. Basándonos en estas características se pueden realizar inversiones para obtener un rendimiento fijo durante un período de tiempo definido, por ejemplo:

  • El inversionista puede financiar compromisos de pago mediante la compra de instrumentos de renta fija que generan el flujo de caja deseado por el tiempo deseado. Por ejemplo, puede pagar las cuotas de un préstamo, las cuotas de un seguro de vida, los aportes a un emprendimiento, los estudios propios o de sus hijos, etc.

  • El inversionista puede construir un capital mediante la reinversión de los flujos que producen los bonos y alcanzar un monto específico, fijando un nivel de rendimiento hasta el vencimiento de los instrumentos.

En este artículo vamos a enfocarnos en inversiones con un tiempo definido, es decir, estudiaremos inversiones donde se desea recibir una cantidad de dinero en una fecha específica.

Una forma de lograr este objetivo es invertir en bonos cero cupón. El bono cero cupón paga el valor nominal cuando vence y la ganancia se produce debido a la diferencia entre el precio de compra y el valor nominal. Es decir, el bono cero cupón se compra a descuento, por ejemplo 40% y se obtiene el 100% al vencimiento.

Otra opción es invertir en bonos que pagan cupones y se genera acumulación de capital mediante la reinversión de los cupones. Generalmente es muy difícil conseguir bonos que cumplan las características deseadas, es por ello que se arman carteras de bonos para procurar así el rendimiento deseado.

¿Qué es una cartera de bonos?: Una cartera o portafolio es la combinación de varios instrumentos para producir algún efecto deseado de rentabilidad o riesgo. Una cartera de bonos es la combinación de varios bonos para producir un efecto deseado de flujo de caja o rentabilidad y con políticas definidas sobre la rentabilidad y el tiempo objetivo. Como política se pueden reinvertir los cupones en los mismos instrumentos u otros.

Como en todas las inversiones, además del rendimiento el inversionista debe tomar previsiones sobre el riesgo. Como señala Miguel Ángel Martín Mato en su libro INVERSIONES, Intrumentos de renta fija, valoración de bonos y análisis de cartera,

Existen dos tipos de riesgos en las inversiones en instrumentos de renta fija… riesgos exógenos y endógenos.”

Dentro de los riesgos endógenos podemos contar con: la calidad del emisor, incumplimiento de pagos, la liquidez del instrumento, los riesgos políticos, etc.

Dentro de los riesgos exógenos podemos contar con:

  • El riesgo de tipos de interés: Éste se define como la posible pérdida o ganancia de valor que puede sufrir un instrumento, provocado por las variaciones de las tasas de interés. Cuando los tipos de interés suben, los flujos futuros de una cartera se descuentan a una tasa de interés mayor, por lo cual el precio baja, en el caso de que lo tipos de interés bajen, los flujos futuros se descuentan a una tasa menor, entonces el valor actual aumenta, es decir el precio sube. A este riesgo se le suele llamar efecto precio.

  • El riesgo de reinversión: Se manifiesta cuando la reinversión de los flujos (cupones o principal) no se realiza a la tasa de rendimiento del momento en el cual se compró el bono. Es decir, es el riesgo obtener un rendimiento diferente al rendimiento al vencimiento (YTM%) del momento de la compra.

El aumento de los tipos de interés hace que los flujos que se vayan obteniendo se reinviertan a una tasa mayor aumentando el valor obtenido por reinversión de los flujos que produce la cartera, en caso de que los tipos de interés disminuyan habría un descenso en el valor obtenido por la reinversión de los flujos que produce la cartera. A este efecto se le llama riesgo de reinversión.

Dependiendo de las tasas de interés y las reinversiones se podría obtener la cantidad requerida antes o después del tiempo requerido. Es por ello que el concepto de duración tiene mucha utilidad, ya que permite a un inversionista hacer frente a un determinado compromiso o una corriente de flujos en el futuro conformando portafolios de inversión que gestionan el riesgo de tipos de tasas de interés.

La inmunización se desarrolla a partir del concepto de duración y busca un equilibrio entre el efecto precio y el efecto de reinversión. De modo que a pesar de que se produzcan pequeños cambios en las tasas de interés todavía se obtiene, aproximadamente, la cantidad deseada en el tiempo requerido.

En el fondo se busca la compensación de Riesgo con Riesgo. Es decir, se intenta compensar el Riesgo de Tasas de Interés con el Riesgo de Reinversión y viceversa. De forma intuitiva se intenta convertir una cartera en un bono cero cupón, que como ya hemos dicho no tiene riesgo de reinversión ya que no produce flujos de caja mientras está vigente.”

Partiendo de los ejemplos que aparecen en el libro de Miguel Ángel Martín Mato, vamos a entender el riesgo de tipos de interés y el riesgo de reinversión:

Riesgo de Tipos de Interés

Supongamos que un inversionista compra un bono con un valor nominal de 1000$, una tasa cupón de 9%, al que le quedan 10 años hasta el vencimiento y su rendimiento al vencimiento es 12%, además luego de transcurrido un año, las tasas de interés van cayendo de acuerdo a la tabla siguiente:

Después de 6 años el inversionista decide vender el bono. Calculemos el precio de compra y el precio de venta.

La manera de calcular dicho precio es mediante la fórmula del VPN de los flujos que produce el bono

Donde

  • $C_i$ son los flujos en el tiempo $i$, recordemos que el último flujo debe considerar el valor nominal.

  • $r$ es el rendimiento.

  • $n$ son los períodos faltantes para el vencimiento del bono.

Para nuestro ejemplo tenemos que el precio para comprar es:

Y el precio de venta después de 6 años sería:

Utilizando R vamos a crear una función llamada precio, que dado el valor del cupón, el rendimiento, el valor nominal y el vencimiento, calcula el precio.

precio <- function(cupon,rendimiento,nominal,tiempo_vencimiento) {
cupones <- rep(cupon*nominal, tiempo_vencimiento)
cupones[tiempo_vencimiento]<-cupones[tiempo_vencimiento]+nominal
descuento<- (1+rendimiento)^seq_len(tiempo_vencimiento)
return(sum(cupones/descuento))
}

P_compra <- precio(cupon=0.09,rendimiento=0.12,nominal=1000,tiempo_vencimiento=10)
P_compra
[1] 830.4933

P_venta <- precio(cupon=0.09,rendimiento=0.07,nominal=1000,tiempo_vencimiento=4)
P_venta
[1] 1067.744

Claramente vemos como el precio aumenta cuando el rendimiento disminuye y viceversa.

Riesgo de Reinversión

Siguiendo el mismo ejemplo, calculemos la reinversión de los cupones. Cada año recibirá 90$, con las tasas de rendimiento de los seis años siguientes, vamos a calcular cuanto se obtendrá por la reinversión de cada uno de esos cupones. La fórmula para realizar el cálculo del valor futuro de dichos flujos es:

Dónde

  • $n$ tiempo que durará el inversionista con el bono.

  • $r_i$ representa la tasa de rendimiento en el tiempo $i$, con $i=1,…,n$.

  • $cupon$ es el valor del cupon recibido.

Usando esta notación tenemos:

Sumando los valores obtenidos por cada reinversión tenemos:

Si a este resultado le restamos la cantidad total recibida por los 6 cupones obtenemos la ganancia por reinversión, es decir, si

Entonces

Para realizar estos cálculos en R, creamos una función llamada reinversion_cupon, que necesita el valor del cupón, el vector con las tasas de rendimiento y el tiempo en que se invierte dicho cupón, ésta nos retornará el valor futuro del cupón, reinvertido a las tasas especificadas.

reinversion_cupon<-function(cupon,tasas_rendimiento,nominal,tiempo){
tasas_rendimiento_1 <- 1 + tasas_rendimiento
n <- length(tasas_rendimiento_1)
reinversion <- cupon*nominal*prod(tasas_rendimiento_1[tiempo:n])
return(reinversion)
}

#Tasas de Reinversión
tr <- c(0.12, 0.11, 0.1, 0.09, 0.08, 0.07)

CR_1 <- reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=2)
CR_1
[1] 138.4179

CR_2 <- reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=3)
CR_2
[1] 124.7008

CR_3 <-reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=4)
CR_3
[1] 113.3644

CR_4 <-reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=5)
CR_4
[1] 104.004

CR_5 <-reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=6)
CR_5
[1] 96.3

CR_6 <- 90

Cupones_reinvertidos <- CR_1+CR_2+CR_3+CR_4+CR_5+CR_6
Cupones_reinvertidos
[1] 666.787

Cupones <- 90+90+90+90+90+90
Cupones
[1] 540

Reinversion <- Cupones_reinvertidos - Cupones
Reinversion
[1] 126.787

Con estos resultados el capital final será la suma del precio de venta más el valor futuro de cada uno de los cupones

Cap_final <- P_venta + Cupones_reinvertidos
Cap_final
[1] 1734.531

Tasa Efectiva Anual (TEA)

Si partimos de la fórmula del valor futuro, tenemos que

Ahora podemos calcular la rentabilidad anual, si despejamos $R_A$ de la fórmula previa obtenemos

(Cap_final/P_compra)^(1/6)-1
[1] 0.1305966

Cuando el inversionista realizó la compra del bono, la tasa de rendimiento era de 12% y esa era su expectativa, pero debido a los cambios en las tasas de interés, recordemos la tabla donde estos iban disminuyendo al pasar los años, el rendimiento anual efectivo que obtuvo fue de 13%, el cual es mayor al esperado. En el caso en el cual las tasas de rendimientos aumentan, se obtendría una rentabilidad anual menor.

Riesgo de Tipo de Interés y Riesgo de Reinversión

Queremos medir el impacto neto en un bono, debido al riesgo de tasas de interés y al riesgo de reinversión. Vamos a asumir, como escenario original, que las tasas de rendimiento no fluctúan y se mantienen constantes durante el tiempo en el cual el inversionista mantiene el bono.

Continuando el ejemplo anterior, vamos a calcular el precio de venta y la reinversión de los cupones

#Precio de venta
P_venta_H <- precio(cupon=0.09,rendimiento=0.12,nominal=1000,tiempo_vencimiento=4)
P_venta_H
[1] 908.8795

#Tasas de Reinversión
tr <- c(0.12, 0.12, 0.12, 0.12, 0.12, 0.12)

CR_1 <- reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=2)
CR_1
[1] 158.6108

CR_2 <- reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=3)
CR_2
[1] 141.6167

CR_3 <-reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=4)
CR_3
[1] 126.4435

CR_4 <-reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=5)
CR_4
[1] 112.896

CR_5 <-reinversion_cupon(cupon=0.09,tasas_rendimiento=tr,nominal=1000,tiempo=6)
CR_5
[1] 100.8

CR_6 <- 90

Cupones_reinvertidos_H <- CR_1+CR_2+CR_3+CR_4+CR_5+CR_6
Cupones_reinvertidos_H
[1] 730.367

Entonces el riesgo asociado al tipo de interés vendrá dado por la diferencia entre el precio de venta con las tasas cambiantes y el precio de venta de acuerdo a las expectativas en el momento de la compra.

Riesgo_Tipo_Interes <- P_venta-P_venta_H
Riesgo_Tipo_Interes
[1] 158.8647

La diferencia entre el escenario de reinversión real y el escenario original planteado al momento de la compra del bono, es el riesgo de reinversión. Este es el monto que se gana o se pierde por concepto de reinversión de los cupones debido a un cambio en las tasas de interés:

Riesgo_Reinversion <- Cupones_reinvertidos - Cupones_reinvertidos_H
Riesgo_Reinversion
[1] -63.57997

Así el riesgo total, es decir cuanto gana o pierde el inversionista, lo podemos medir como la suma del efecto de precio y el riesgo de reinversión. Para su cálculo usamos la siguiente fórmula:

Riesgo_Total <- Riesgo_Tipo_Interes + Riesgo_Reinversion
Riesgo_Total
[1] 95.28473

En el ejemplo que usamos obtuvimos un valor positivo, con el concluimos que hubo una ganancia de 95.28473$ y esta es debido a que las tasas de rendimiento disminuyeron.

Cuando se posee una cartera de bonos, lo que se busca con la inmunización es compensar las ganancias debido al efecto precio con las pérdidas del riesgo de reinversión o viceversa, es decir, equilibrar ambos efectos.

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